光線跟蹤
對(duì)于光學(xué)系統(tǒng)中的透鏡成像介紹，可以通過討論光線跟蹤開始。圖一是一個(gè)理想的薄透鏡對(duì)物體進(jìn)行成像的基本光路圖。物體的高度為y1，到透鏡中心的距離為s1，透鏡的焦距為f。透鏡在另一端s2的位置成像，像高為y2
圖一
對(duì)于理想的薄透鏡，它的厚度足夠薄，可以不計(jì)入焦距。這種情況下，穿過透鏡中心的光線發(fā)生的折射可以忽略。接下來的討論基于這種理想薄透鏡，這對(duì)于一些基本規(guī)律的討論是足夠的。透鏡的相差及厚度所產(chǎn)生的其他效應(yīng)在這里不加以考慮。
圖一中包含三條光路，其中任意兩條都可以*確定像的位置和大小。上面一條從物體發(fā)出并平行于透鏡的光軸，經(jīng)過透鏡折射后穿過另一側(cè)的焦點(diǎn)。第二條光束穿過透鏡左側(cè)的焦點(diǎn)，經(jīng)過折射，與光軸平行。第三條光束直接穿過透鏡中心。因?yàn)橥哥R垂直于主光軸并且厚度很小，當(dāng)光透過其中心時(shí)，折射可以忽略不計(jì)。
除了理想薄透鏡假設(shè)，我們還采用了近軸近似，也就是光線與光軸的夾角θ足夠小，可以把Sinθ近似為θ。
放大成像
下面使用基本的幾何光學(xué)來討論透鏡的放大效應(yīng)。圖二顯示了一個(gè)同樣的光路結(jié)構(gòu)。從物體出發(fā)，穿過透鏡中心的光線與光軸成φ夾角，在透鏡兩側(cè)形成兩個(gè)相似三角形，可以得到:
φ= y1/s1 = y2/s2
進(jìn)行變形得到
y2/y1 = s2/s1 = M
數(shù)值M即為透鏡對(duì)物體成像的放大倍數(shù)，同時(shí)也是像距和物距之間的比例。
圖二
這個(gè)比例關(guān)系對(duì)成像系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)構(gòu)成了一個(gè)基本限制。對(duì)于一個(gè)給定尺寸的光學(xué)系統(tǒng)，要對(duì)物體產(chǎn)生特定放大倍數(shù)的成像，那么只有一個(gè)確定的透鏡位置才可以滿足要求。另一方面，成像系統(tǒng)的放大倍數(shù)不需要通過測(cè)量像和物體的尺寸來確定，它是由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)決定的。
高斯透鏡方程
現(xiàn)在我們?cè)倩氐焦饩€跟蹤圖中，來看另一個(gè)光束。在圖三中，從物體出發(fā)穿過前焦點(diǎn)的光束，與主光軸相交形成兩個(gè)相似三角形，頂角同為η，因此具有如下關(guān)系：
y2/f = y1/(s1-f)
運(yùn)用放大倍數(shù)的定義公式可以得到
y2/y1 = s2/s1 = f/(s1-f)
進(jìn)行一下變形，終我們得到
1/f = 1/s1 + 1/s2
這就是高斯透鏡方程，它定義了透鏡焦距及成像系統(tǒng)尺寸之間的基本關(guān)系。這個(gè)方程與放大倍數(shù)的定義公式形成一個(gè)方程組，其中含有三個(gè)變量，焦距f，物距s1，以及像距s2。再加上另外一個(gè)條件方程就可以終確定這三個(gè)變量。
另外的一個(gè)條件通常是透鏡的焦距f，或者物像之間的距離，也就是s1+s2，它受系統(tǒng)的尺寸限制。任意一種情況都可以確定這三個(gè)變量。
圖三
光學(xué)不變量
現(xiàn)在讓我們看一下物體發(fā)出的任意一條光束如何穿過系統(tǒng)。圖四顯示了一條從物體底部出發(fā)穿過透鏡頂端的光線，它和光軸之間具有大的夾角。分析這條光束在光路設(shè)計(jì)中具有重要意義，在這里它可以很好地演示任意光束是如何穿過系統(tǒng)的。
圖四
光束到達(dá)透鏡的位置與主光軸之間的距離為x。采用近軸近似并結(jié)合上面的公式，可以得到：
θ1 = x/s1
θ2 = x/s2 = (x/s1)(y1/y2)
變形得到
y2θ2 = y1θ1
這是光學(xué)成像的一條基本定律。在一個(gè)只由透鏡構(gòu)成的光學(xué)系統(tǒng)中，像的尺寸與光束和光軸之間夾角的乘積是一個(gè)常數(shù)，稱之為光學(xué)不變量。這個(gè)結(jié)果對(duì)任意個(gè)數(shù)的透鏡都是成立的，在一些光學(xué)著作中，也稱之為拉格朗日不變量或史密斯-亥姆霍茲不變量。
這個(gè)定律基于近軸近似和理想的無相差透鏡。如果考慮現(xiàn)實(shí)中透鏡的相差，上述方程中的等號(hào)需要換成大于等于號(hào)，也就是說相差可以使這個(gè)乘積有所增加，但沒有任何因素可以使它減小。
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